数学与艺术:连接几何学家和艺术家
发布时间:2025-10-20
在关于 "构图 "的期望除此除此以外,学者和显践者两者之间多年来存在着对话,这与原理和领域两者之间的对话相多种不同,而这种对话在所有将逻辑学观念主要用途指导工作的层面在此之前都是如此。一个当代建筑家不太可能就让比无论如何更为好地补救一个难题,极其心里关心推论所用在此期间做的技术心里有效或不具备当代建筑家就让的功能性的具体内容。一个更为的现代的情况的类比是,如果主要用途路由传真分组的当前系统会平均花另加7.2个的单位的时长,并且一个人请注意到了一种平均在6.5个的单位的时长内同步进行路由的方式,那么即使还他会请注意到这样的系统会,一个人也不则会责怪可以推论最好的系统会不太可能在6.487个的单位的时长内完变为指导工作。
关于构图的难题颇为符合逻辑学动态难题的人格,逻辑学动态是逻辑学的一大部分,无关用在此期间做逻辑学来取得对逻辑学除此以外的人文学科的长处。在上会的方式在此之前,人们整体重视的难题是,推论场景是由一只 "单点嘴巴 "观赏的,例如,在六边形描画布上的欧几中都德在此之前的场景的知觉。然而,我们都告诉他,人类文明不具备双目观者官!我们恰巧在攻击这种双目观者官。我们以前恰巧在收复这样的双目观者官难题,因为我们有逻辑学若无件来补救这样的难题,而无论如何的当代建筑家/逻辑学家不得不满足于更为有用的方式。
有一些人的取名为逻辑学家所津津乐道(但也许不为大众鲜为人知),他们对构图原理在此期间做造出了助益(上图2)。虽然每个高等数学学生都告诉他巴斯-泰勒(1685-1731)的取名,告诉他他在幂级数除此除此以外的指导工作,但有多更少逻辑学家告诉他泰勒读到过离散构图原理?另一除此除此以外,每个当代艺术历史学都则会认识尤文图斯-里斯-罗伯茨卡(Piero della Francesca,近百1412-1492)的取名,但这些当代艺术历史学(或逻辑学家)在此之前又有多更少人熟知他对逻辑学的助益?都只,库珀-德萨格(Girard Desargues,1591-1661)因其在紧致平面几何除此除此以外的指导工作而为平面几何学家所津津乐道。六边形上的三维平面几何无关点和该线,但与欧几中都德平面几何相异,在欧几中都德平面几何在此之前,该线可以是直该线的(从不切该线或碰面),而在三维六边形在此之前,任何一对该线心里切该线的。并不多有与当代艺术有关的人熟知Desargues的指导工作。下上图("Desargues Confifiguration "的一大部分)是紧致平面几何学生所熟知的,可以相信是一个 "嘴巴"(点)观察设在相异六边形的六边形的六边形上图(上图3)。在这中都,我们将六边形上的上图描画认作亦然我们在欧几中都德在此之前思考的好像。
上图2 巴斯·泰勒(Brook Taylor)的人像
上图3两个六边形被相信在欧几中都德的相异六边形上,它们的显然相同六边形通过一个点。
这个上图的真显情况是,如果“除此除此以外的六边形”的边不直该线,那么这些边在三个点切该线,这三个点须要都在同一条该线上。人们可以陈述德萨格在欧几中都德六边形在此之前请注意到的相异发行版,但是重新考虑结果的纯净右边是在显紧致六边形在此之前,从平面几何学的原理看法来看,它透过了欧几中都德六边形平面几何学的恰巧因如此。在欧几中都德平面几何在此之前,用在此期间做了近百翰·普莱另加尔(1748-1819)的一个纯净数,即假定一个不在该线l上的点P,存在一条通过P到l的唯多年来该线该线,这更为清晰地干掉了实在太有用的欧几中都德第五公设的素材。在显紧致六边形在此之前,相异直该线的对心里切该线的;在显指数函数六边形在此之前,假定一个不在该线l上的点P,将有无限多条通过P的该线直该线(不切该线)。指数函数平面几何很慕名而来人,但这中都不咨询,尽管我们将在后面请注意到,有时当代建筑家希望用在此期间做指数函数平面几何的观念来尽力以欧几中都德平面几何未无论如何的方式为隐含观念。近百翰·兰伯特(1728-1777)也对构图逻辑学在此期间做造出了系统会的助益,他的取名是因为他计算造出来了欧几中都德第五公设(或不道德纯净数)不组建的论据。以前,我们更为好地表达出来了在原理逻辑学和“现显21世纪”在此之前不太可能的暴力行为动态在此之前都有欧几中都德平面几何的恰巧因如此。虽然构图是一个更好的层面,但这极其能阻止对这个意念的持续思考。对于那些习惯于在一点或两点聚焦下指导工作的人,有D. Termes的专著,他通过6点聚焦来补救!
与离散构图若无件特别的是被称作概括性平面几何的平面几何学分支。在19世纪,概括性平面几何学被广泛应用客座教授,除此除此以外是在工程该的学校,而以前这个人文学科极其众所周知。大部分情况是软件包系统使不熟知概括性平面几何的人有不太可能完变为一些任务,从而使其恰当的知识更为过时。概括性平面几何学透过了一套在二维生活空间表示动态星体的程序。二维表示不太可能是在一张纸板上或一个计算机屏幕上。这些技术对工程师、建筑;也师(除此除此以外是马修-盖中都)和取而代之设计师来说颇为重要。要取而代之设计,比如说一架大型民航机,不太可能则会无关成千上万的上复制品。这个意念的根源在于塔尔布雷希特-肖像画(1471- 1528)和加斯帕德-蒙格(1746-1818)等人。如果一个当代建筑家、行销取而代之设计师、建筑家或建筑;也师很难隐含他/她对如何制造或以其他方式为拼装他们就让制造的 "行销 "取而代之设计的内涵,那么所无关的指导工作不太可能就未借助了。概括性平面几何学赞同与此相反的制造和原创性的取而代之设计,它给造出了如何在六边形上平庸拟议的动态作曲的程序。
为了说明其在此之前的一些难题,下上图用蓝色说明了了直该线该线如何 "将一个六边形导引到一条该线上",而红该线说明了了同一个六边形如何从 "嘴巴""导引 "到同一条该线上。清晰地说,直该线三维可以被相信是 "嘴巴 "从 "无限远 "的人口众多看六边形的三维。A'、B'和C'说明了了六边形六边形被 "直该线 "三维伸展的右边,而A"、B "和C "说明了了六边形被 "圆锥 "三维伸展的右边(上图4)。
上图4将六边形“三维”到六边形直该线上的两种方式。
这中都有一个极其帅气的结果,它是从逻辑学和当代建筑家在六边形上平庸欧几中都德的效益两者之间的对话在此之前显现造出的。这个结果被称作哈里森定律。卡尔-威廉-哈里森(Karl Wilhelm Pohlke,1810-1876)是一位德国描画家,也是的的学校当代艺术公立学校的概括性平面几何学教师。他在1853年设就让了这个结果,尽管第一个推论显然是由K.H.A. Schwarz(1843- 1921)在1864年设就让的。该定律在相异素质上被重述。这中都是一个发行版。
哈里森定律:假定三条指定总长度(不一定相近百)的该线段在六边形上的一点切该线(不一定相近百),则在欧几中都德在此之前有三条等长的直该线段在一点上变为直角切该线,使得这些该线段的直该线三维将它们连续函数到六边形在此之前选定的三条直该线段上。
清晰地说,这极其一定如果一个人就让在六边形上描画一个边形方型,他可以为边形的一角描画造出任意三元组的该线,因为边形在欧几中都德在此之前有某个右边连续函数到假定的三元组。因此,在下上图在此之前,左侧的生活空间原点可以完变为以演化变为一个“边形”,并且在欧几中都德在此之前有三组由三个恰巧交段均是由的等价,它们可以用在此期间做直该线三维连续函数到左侧的生活空间轴上。生活空间原点六边形处的相反(以度为的单位)为90、135和135。除此以外,三个角的总和为360度(上图5)。
上图5:用在此期间做方框一角的三条该线。
哈里森定律有时被称作轴测原则上定律,它和描画法平面几何一样,管控的是在六边形上插图动态星体的难题。
轴对称
当代艺术评论家在此之前的发展造出一种咨询和分析方法当代艺术的语言。确信,一些逻辑学知识在分析方法当代艺术时是有用的。一些当代艺术文学作品或当代艺术文学作品的某些大部分由精采的好像均是由,因为它们在逻辑学意涵上是轴对称的。尽管对轴磁矩的研究者在逻辑学结构上在此之前隐含了极短时长,但在某些除此除此以外,对其同步进行系统会的研究者是都只的事。因此,是Felix Klein(1849-1925)强烈要求请注意这样一个事显:对相异类型的平面几何体同步进行分类学的一种方式为是都从这些平面几何体在此之前的每一种移去了寻常的类型的平面几何叠加。除此除此以外是,在欧几中都德、几何或Bolyai-Lobachevsky平面几何在此之前,看一下作为反之亦然该线的平面几何叠加是有意涵的。反之亦然叠加是一种移去距离的叠加。在欧几中都德六边形内,一个清晰的反之亦然该线本表除此以外线性、摆动、散射和侧向散射。
当然,重要的是要做到,逻辑学家(和其他人)用在此期间做逻辑学观念分析方法的许多当代艺术文学作品不太可能极其反映当代建筑家试上图将这些逻辑学观念融入他/她的文学作品在此之前。就像录制边形箱子的人不太可能并未意识到边形是一个恰巧恰巧立方体(所有六边形都一样,所有面都是全都等的恰巧边形),编织的番除此以外篇者不太可能对等距(距离维持叠加)一无鲜为人知。因此,一位逻辑学家不太可能则会指造出皮革的取而代之设计在此之前用在此期间做了17种整幅在此之前的哪一种,但这极其极其一定皮革的取而代之年设计调用了任何逻辑学本质。然而,轴对称观念和文化散播机制的保守派被社则会研究者用在此期间做若无件。考古学家和人类文明学家试上图为了让轴磁矩来确认人工制品(陶器或织若无)的18世纪,并研究者边境贸易和商业化。
分析方法轴磁矩的一个主要若无件是;也的内涵,这是自相信是代逻辑学家或平面几何学家的逻辑学家们所研究者的。用在此期间做组或轴对称的期望是有见地的,但上会无关显际当代艺术恰巧在被“动态”的现显,因为它并不多满足所无关的严密的逻辑学要求。;也的内涵众所周知独特而有用的历史,与定律原理的研究者有关(试上图断定人们未找到解五次多项式定律的亲密关系式)。到了19世纪后期,同调代数被用在此期间做一种若无件,尽力晶格学家表达出来晶格和其他纯净引发的结构设计的轴磁矩。造出于这种观者兴趣,显现造出了用在此期间做同调代数重新考虑对镶嵌和上图样同步进行分类学的指导工作。
当代建筑家、建筑;也师和取而代之设计师(服装和地毯)时常用在此期间做点状或白底上的上图样。这中都有一些白底上这种 "无限 "轴对称上图样的试样,是用英文英文字母构变为的。看似,用在此期间做相异的上图样就可以借助无限的变动(这中都的上图样都是由英文字母均是由的,但可以有更为多的上图样)。
...L L L L L...
....H HHHH.....
....p b p b p b...
....p q pqpq....
...b q b q b q....
...W W W W W...
....C C C C C...
...X X X X X...
...E E E E E...
...A A A A A...
.....p d p d p d ...
.....b p b p b p ....
....d b d b d b d b ...
确信,这13种上图样在此之前有一些 "看似 "不一样,但有一个前所未见的逻辑学结果断定,在逻辑学意涵上,任何白底上图样都是7种之一,所以你不太可能则会更喜欢看后面的上图样在此之前哪些是相近百的,哪些是相异的。1924年,Speiser、Pólya和Niggli在一篇倡议篇文章在此之前咨询了用在此期间做组来对白底上图样同步进行分类学。大近百在1980年,Branko Grünbaum和Geoffrey Shephard请注意到了一种表述条形上图样内涵的方式,从而显现造出了15种相异类型的上图样。当被相信是相近百的一个人通过定位一些区分它们的 "取而代之 "类型而被看作是相异的时候,逻辑学经常则会给予的发展。
人们可以请注意到单独上图样或餐具的轴磁矩。这类上图样的一个例证(从蜡染在此之前用在此期间做的上图样在此之前举例说明)如下所示。这种饰品上会不具备摆动轴磁矩和/或散射轴磁矩(上图6)。
上图6:两个轴对称的上图样,但请请注意,轴磁矩在逻辑学上极其"近百乎"
一个更为有用的上图样,如后面的上图样,可以由有用的上图样创设大大的。这种上图样在一个正向上不具备线性轴磁矩。这种取而代之设计或上图样被称作点状或白底上图样。把这个上图看作是由三个分立的 "垂直 "右边的白底均是由的,它们在上下两个正向上都相接到无限远(上图7)。
上图7二维轴对称上图样,但三根柱子的每一根都可以被相信是白底上图样
主要用途录制这种白底上图样的上图样不太可能是相互孤立的,也不太可能沿白底若无应运而生变为一个 "连续 "的平面几何上图样。如果一个上图样有两个正向的线性,那么这个上图样上会被称作整幅上图样。整幅上图样上会被相信是,比如说,一张白纸板,氛围上描画了一个轴对称的上图样,其在此之前的上图样以单独粉红色显现,比如黑色。然而,逻辑学家们研究者了所列有许多粉红色的轴对称上图样的难题,这些上图样有两个正向的线性。因此,有17种双色白底上图样和46种双色整幅上图样。
尽管当代建筑家不太可能则会重新考虑在所有具体内容上绝对严密地遵守上图样的轴磁矩,但对于 "部落 "当代建筑家或工匠来说,这极其那么更少见。因此,如果人们细细上面甸看似颇为轴对称的皮革,上会则会发直到现在更为详细的层面上,无论是在取而代之设计的用在此期间做上还是在取而代之设计的相异大部分用在此期间做的粉红色上,都不是显然都轴对称的。人们可以请注意到这些小的自由度,要么是在并未电脑程式录制上图样的情况下较难无论如何有用,要么是当代建筑家就让单纯地在此期间做造出这种小的变动。在分析方法这种上图样的轴磁矩时,在领域一些有关轴磁矩的逻辑学分类学在此之前,将当代建筑家所在此期间做的不就让理就让化不太可能是有意涵的。
在后面说明了的上图样在此之前,并未显现任何粉红色。我们有一个白色氛围上的黑色取而代之设计。然而,在咨询上图样的轴磁矩时,人们可以研究者如果不重新考虑粉红色或重新考虑粉红色所无关的轴磁矩。如果你从轴对称的相反看后面的蜡染,你须要理就让化(动态)恰巧在引发的不就让,才能用在此期间做逻辑学。这种蜡染在一个或两个正向上都不是无限的。你须要决定用在此期间做了什么粉红色,以及氛围粉红色是什么(上图8)。
上图8轴对称上图样
一些人请注意到,用逻辑学来决定对所见取而代之设计的整体或大部分的相异解释无关什么轴对称上图样是很寻常的。E·另加多罗夫(1859-1919)在1891年的一篇篇文章在此之前所列了17个二维上图样,因为这篇篇文章是用俄语读到的,所以并未给予广泛应用整体重视。P.Niggli(1888-1953)和G.Pólya(1887-1985)在20世纪2018世纪的发展了7个一维上图样和17个二维上图样;恰巧是通过这项指导工作,分析方法轴对称上图样的逻辑学方式变得更为加众所周知。H·华莱士在20世纪3018世纪完变为了这项指导工作到粉红色轴磁矩的一个扩展。原来有46种双色上图样。随后,人们在研究者高维生活空间在此之前的轴磁矩和用在此期间做多种粉红色除此除此以外在此期间做了大量指导工作。难以置信惊异的是,都只,Branko Grünbaum和Geoffrey Shephard在一系列倡议篇文章和他们的基础性学术著作Tilings and Patterns(1989)在此之前冒险了来进行、密上铺及其轴磁矩的许多扩展和除此除此以外。除此除此以外是,他们冒险了意念的用在此期间做和轴磁矩两者之间的相互抑录制用。例如,这使得他们只能对7种“白底”上图样和17种“整幅”上图样同步进行“更为精准”的分类学。幸好的是,这项指导工作并并未像它应该的那样众所周知。一些人在将轴对称和上图样的逻辑学知识扩大逻辑学除此以外的学者以及都可大众除此除此以外发挥作用了抑录制用。这类书在此之前最有权威和较早的一本是赫尔贝尔·奥恩(Hermann Weyl,1885-1955)的书《轴对称》。值得一提的是的还有多丽丝·施特福勒、布兰科·布克鲍姆(1929-2018)和杰弗中都·谢泼德(1927-2016)、马乔中都·克拉斯涅查尔、米歇尔·埃梅尔、H·S·M·赫尔巴斯(1907-2003)和考克斯·沃什伯恩(人类文明学家)、的兄弟·帕里和金·托马斯。这些人强烈要求请注意用在此期间做轴磁矩作为一种若无件,以洞悉面料、多民族取而代之设计和文化珍贵文若无、建筑;也和当代艺术的各个除此除此以外,以及埃布雷等当代建筑家的文学作品,他们的文学作品慕名而来了有逻辑学爱好的人。
不轴对称
轴对称的当代艺术变为就可以回溯到很久以前,例如马赛克大理石。那不勒斯的例证在那不勒斯和非洲都有。虽然轴对称星体显然像当代艺术和逻辑学一样慕名而来了人们的请注意,但“随机”结构设计也是如此。的现代的当代艺术主要是具象的,剧中、昆虫、房屋和全都景的美。然而,当代艺术也开始涵盖非读到显文学作品。寻常的是,必然性惨剧的逻辑学原理比“确认性”(非必然性)惨剧的逻辑学原理的的发展要晚得多。这类当代艺术的例证除此以外各种庞加莱椭圆形。也许难以置信惊异的是,当用在此期间做无关形容词的表达式的粉红色解码来插图点时,显现造出的上图像既貌似又观者官上慕名而来人(上图9)。
上图9一个颇为慕名而来人的不轴对称上图样。这是一个无关到庞加莱学的例证。(维基媒体基金会透过)
逻辑学当代建筑家和当代艺术逻辑学家
毫不寻常,鉴于逻辑学的内在当代艺术特质,许多逻辑学家(和计算机研究者)不只能重新考虑通过推论定律来隐含自己,还重新考虑通过当代表演艺术来隐含自己。有许多这样的人,除此以外赫拉克勒斯贝尔-弗格冈、纳撒米切尔-弗中都德贝尔、爱德华-莱斯、穆尔-奥恩霍夫、迈克尔-赫尔,以及许多其他人。与这些同时也是当代建筑家的职业 "逻辑学家 "相辅相变为的是一;也不是逻辑学家但从逻辑学周期性在此之前取得巨大灵观者的人。这类人的例证有布伦特-柯林斯、查尔斯-佩中都和索尔-莱维特。毫不寻常,有许多建筑;也师的文学作品有一种被逻辑学和计算机系统会的 "技术并能 "所影响的就让象。尽管不太可能与逻辑学只有切身的建立联系,但杰造出的建筑;也师马修-史蒂芬(Frank Gehry)咨询了CAD(计算机辅助取而代之设计)软件包的可用性如何使他有不太可能以一种其他方式为隐含自己。否则就不不太可能了。结构设计工程与逻辑学有许多建立联系。如果你不熟知布宜诺斯雷利斯-卡拉特拉瓦的文学作品,你将则会大饱眼福。许多逻辑学家请注意到他的桥面和其他结构设计很慕名而来人,有一种逻辑学的味道。也有各种先前,用算法生变为当代艺术。其在此之前一些指导工作是极其寻常的。
对于都可大众来说,有一位当代建筑家的文学作品,也许比其他任何当代建筑家都更为被认作不具备逻辑学的实用性(上图10)。
上图10是埃布雷的三色上图样。(维基媒体基金会透过)
这位当代建筑家就是M. C .埃布雷(1898-1972)。这是真的,尽管埃布雷极其相信自己有逻辑学天赋。然而,尽管他重新考虑到恰巧式的逻辑学研究者,埃布雷用逻辑学的方式管控了许多当代艺术难题。Doris Schattschneider在感受政府部门请注意埃布雷的指导工作及其与逻辑学的亲密关系除此除此以外发挥作用了重要抑录制用。不只能逻辑学难题展示出了埃布雷,他的指导工作也展示出了其他人去创造者与逻辑学特别的当代艺术(上图11)。
上图11荷兰特温特大公立学校园中都的一件深受埃布雷范本的石雕。(维基媒体基金会透过)。
埃布雷的一些文学作品与素描有关,这些素描可以在看似动态的六边形上插图,但从若无理学上未借助的意涵上说是,它们是不不太可能借助的对象。这些与观者官联就让有关的星体既有逻辑学除此除此以外的,也有当代艺术除此除此以外的(上图12)。
上图12三种观者官联就让。彭罗斯台阶、不不太可能的三叉戟和彭罗斯对角。(维基媒体基金会透过)。
埃布雷颇为更少深受到一位颇为杰造出的逻辑学家(平面几何学家)哈罗德·刘易斯·罗宾逊·赫尔巴斯(Harold Scott MacDonald Coxeter,1907-2003)的影响。埃布雷与赫尔巴斯国际交流了他在表示局限区域在此之前的“无限”时遇到的困难。赫尔巴斯的回应是展览品了密上铺两者之间的建立联系,这种密上铺无关指数函数六边形上的无限多密上铺,但可以在欧几中都德六边形的局限范围内插图。赫尔巴斯解释了这种逻辑学建立联系的具体内容。难以置信惊异的是,赫尔巴斯在90多岁的时候多年来在在此期间做逻辑学(上图13)。
上图13闻名平面几何学家和代逻辑学家哈罗德·刘易斯·罗宾逊·赫尔巴斯的相片,他的朋友们都叫他的兄弟。(维基媒体基金会透过)
虽然有许多逻辑学家和当代建筑家合作的例证,但在Bridges 民间组织显现在此之前,一个罕见的惨剧是当代艺术和逻辑学在“的学校”环境在此之前对话和繁华的生态村。
斯洛文尼亚该的学校(1933-1957)是的的学校设在宾夕法尼亚州的显验性当代艺术公立学校,组建于1933年。与该的学校有建立联系的杰造出当代建筑家有:近百翰-安德森(1912-1992)钢琴演奏,雷纳-坎宁安(1919-2009)舞蹈,沃尔特-格罗皮乌斯(1883-1969)建筑;也师,威廉(1904-1997)和伊莱恩(1918-1989)德-索菲伊夫卡,海因里希-克莱恩(1910-1962)。罗伯特-马瑟奥恩(1915-1991)和考克斯娅-洛克伯恩(1932- )另除此以外值得一提的是的是,(霍利)巴克奥格斯堡-富勒(1895-1983)显然在1948年和1949年的夏末在那中都在此期间做了一些开发计划指导工作和 "大地拱形 "的显验。富勒拱形造出直到现在许多房屋和邱园的建筑;也在此之前。与富勒拱形特别的逻辑学观念引致了很多人的请注意(上图14-15)。
上图14:“富勒”拱形的相片。(维基媒体基金会透过)
上图15:与富勒拱形特别的恰巧立方体亲密关系上图。结构上六边形只有5或6次的近百对角敛分。(维基媒体基金会透过)
富勒拱形无关圆动态恰巧立方体的研究者,所有恰巧立方体的面都是六边形,恰巧立方体的六边形都只有12个六边形,每个六边形有5条边,h(多于1)个六边形都只有6条边。圆恰巧立方体的等价被称作化合若无,其在此之前后面的恰巧立方体的六边形和面的角色被“反之亦然”。这些圆恰巧立方体在每个六边形都有3条边,恰巧好12个面有5条边,h(多于1)个面有6条边。这两类型型的恰巧立方体动态在若无理学上颇为慕名而来人,并且不具备貌似的逻辑学功能性。
斯洛文尼亚该的学校倡导了逻辑学和当代艺术两者之间的建立联系,其在此之前一个情况不太可能是杰造出的逻辑学家米勒-德恩(1878-1952)在那中都的教职。德恩,尽管他在许多逻辑学层面指导工作,但主要以他在紧致学和平面几何学除此除此以外的指导工作而闻名。事显上,使德恩变为名的大部分情况是他补救了庞加莱的第三个难题。亚当-庞加莱(1862-1943)是八十18世纪的现代对逻辑学最重要的助益者之一,他在1901年设就让了一个闻名的难题表格,他相信这些难题一旦补救,将为当时的逻辑学家所整体重视的课题带来重要的取而代之见解和方式。其在此之前一个难题的显质是,是否是有不太可能将两个截面积相近百的动态圆面体分别切割成变为恰巧立方体大块,然后重取而代之组合变为另一个。德恩断定,对于相近百截面积的边形和恰巧立方体,这是不不太可能无论如何的。他断定,如果这两个恰巧立方体不具备相近百的以前被称作德恩不变量的好像,那么这种分解是不太可能的。关于这个难题的二维多种不同若无的咨询将在后面有用管控。
平面几何当代艺术
虽然在极短短暂中都,素描以自画像和风景描画为主,但到了20世纪,许多当代建筑家显然深受到了椭圆形和它们相互抑录制用的方式为以及椭圆形打磨的方式为的范本。表象当代艺术当然早于八十18世纪,但纯粹的平面几何椭圆形作为一种观者兴趣缺更少是不更少见的。一些平面几何当代艺术强调轴对称,但很多文学作品也用在此期间做了“无序”的椭圆形。平面几何当代艺术“多民族运动”有很多除此除此以外。
虽然一些与平面几何表象有关的当代建筑家不太可能并并未深受到逻辑学重新考虑的“范本”,但他们的文学作品时常在当代艺术和/或内心上与逻辑学家对话,并时常向平面几何学家设就让逻辑学难题。这类当代建筑家的一个更好的例证是蒙德中都安(1872-1944),他的许多最闻名的文学作品都为中心着平面几何椭圆形,除此除此以外是对角(上图16)。
上图16蒙德中都安的自描画像。(维基媒体基金会)
他的一些指导工作鼓励逻辑学家分析方法一个对角何时可以分解变为不具备寻常性质的其他对角。这类难题的典型例证不太可能是:
一个有理数边的长方形什么时候才能分解变为其他并未一对彼此全都等的长方形?这个难题引造出了“近百乎平方”的内涵。这个难题有一个有用的历史,但一项值得一提的是的助益是比尔·巴斯斯(Rowland Brooks,1916-1993)、纳德中都克·琼斯(Cedric Smith,1917-2002)、斯图尔特·斯通(Arthur Stone,1916-2000)和威廉·上图特(William Tutte,1917-2002),当时他们还是剑桥的学校的继续教育。
虽然蒙德中都安不太可能是最闻名的这样的当代建筑家,但也有许多当代建筑家被平面几何素描所慕名而来。引言的表格除此以外,但不试上图包容:
Frantisek Kupka (1871–1957)
Bart van der Leck (1876–1978)
Kazimir Malevich (1879–1935)
Theo Van Doesburg (1883–1931)
Sonia Delaunay (1885–1979)
Josef Albers (1888–1976)
Ilya Bolotowsky (1907–1981)
Barnett Newman (1905–1970)
Morris Louis (1912–1952)
Ad (Adolph) Reinhardt (1913–1967)
Carmen Herrera (1915- )
Ellsworth Kelly (1923–2015)
Frank Stella (1936- )
Slavik Jablan (1952–2015)
当代出版界与这种对平面几何椭圆形的观者兴趣特别的另一个专有名词是硬边素描。在这种素描建筑风格在此之前,嘴巴整体重视的对象两者之间的清晰过渡性的方式为与逻辑学家通过判别来恰当相异椭圆形两者之间的区别的方式为大致相近百。
另一种不具备逻辑学慕名而来力的平面几何当代艺术无关后来被称作光学当代艺术的好像。这种当代艺术大部分与对观者官联就让的观者兴趣有关,但不大素质上依赖于椭圆形和光该线相互抑录制用的“难以置信惊异的”除此除此以外。
Victor Vasarely (1906–1997)
Bridget Riley (1931- )
Richard Anuszkiewicz (1930–2020)
Larry Poons (1937- )
Jeffrey Steele (1931- )
Ted Collier (1974- )
虽然平面几何表象的根源可以回溯到很久以前,但许多显践当代建筑家原则上上看来这种国际交流方式为很合他们的毕竟。在生活中的平面几何表象当代建筑家恰巧在冒险许多原先正向。
恰巧立方体、密上铺和敛分
插图恰巧立方体是的现代与构图描画有关的期望的试验场。文艺复兴时期的当代建筑家们试上图上曾说明的 "笛卡儿恰巧立方体 "的基础上再接再厉,虽然笛卡儿的番除此以外篇在此之前失传,但在帕普斯(290-350)的学术著作在此之前咨询过这些恰巧立方体。笛卡儿虚拟(原则上上上不除此以外柏拉上图虚拟)是三组圆面恰巧立方体,其功能性是范围内的每个六边形都像其他六边形,其面是的系统会的边形,也许不是所有面数都相近百。难以置信惊异的是,直到HAT-P-(1571-1630)的指导工作才显现了清晰的复建,他请注意到了13个这样的虚拟,尽管人们可以为有14个这样的虚拟设就让顾虑。帕普斯-笛卡儿在古代错过了一个。笛卡儿虚拟的的现代判别将其判别为不具备轴对称;也的圆面恰巧立方体,在该轴对称;也下所有六边形都相近百。用在此期间做这个判别,共有13个虚拟,但并未什么顾虑相信古希腊的平面几何学家是以;也组的方式来思考的,而不是以范围内六边形等价的方式来思考的,假定,每个六边形周围的面的形态是相近百的。
在的现代,恰巧立方体展示出了当代建筑家和逻辑学家对当代艺术的观者兴趣。深受恰巧立方体的范本,Stewart Coffin创造者了一系列不可思议的拼上图取而代之设计,需要将他取而代之设计的珍稀硬木拼在独自演化变为恰巧立方体。Coffin的迷宫因其作为迷宫的独创性和它们的美好而不同寻常。这种美反映了恰巧立方体星体本身的美,也反映了他用来录制拼上图的珍稀硬木的美。Coffin在重新考虑众所周知的恰巧立方体的轴对称举例来说时平庸造出了原创性。像期望了许多其他人的埃布雷一样,科芬的指导工作也期望了其他人。好的迷宫则会显现造出与美好的逻辑学所展示出的都只的著迷观者。爱德华·莱斯(George Hart)的氛围是计算机科学,他透过了一个对恰巧立方体的逻辑学原理在此期间做造出助益的人的最取而代之例证,同时他为了让自己作为建筑家和当代建筑家的技能,作曲造出深受恰巧立方体星体范本的原创文学作品(上图17)。
上图17爱德华·莱斯的石雕。(爱德华·莱斯透过)
另一位深受恰巧立方体、轴对称和紧致周期性范本的当代建筑家是芭丝谢芭·格罗斯贝尔。她的当代艺术试样如下(上图18)。
上图18芭丝谢芭·格罗斯贝尔的石雕。(维基媒体基金会透过)
录制不具备的系统会性的恰巧立方体有用动态众所周知悠久的原则上上。在逻辑学亦然大则会上,平面几何学家们上会则会展览品一个动态室,在这中都,更喜欢建成动态的逻辑学家/当代建筑家们可以展览品若无理学形态的平面几何之美。它们缺更少了人们心目在此之前这些平面几何星体的美。熟练的动态番除此以外篇者手在此之前的恰巧立方体虚拟之美却是了真恰巧的当代艺术文学作品。Magnus Wenninger(1919–2017)是几本关于动态录制的类书籍的作者。他的男模除此除此以外貌似。这中都有一个小试样,它只能显然了温宁格多年来制造的各种动态(上图19)。他的“星状”恰巧立方体动态众所周知不同寻常。
上图19 Magnus Wenninger录制的轴对称恰巧立方体动态试样。(克里斯托弗·温宁格透过,现已与世长辞)
六边形密上铺是一种将六边形特罗斯季亚涅齐或与各种椭圆形重合的复合方式为。例如,我们可以用任何六边形的全都等副无论如何上布设六边形,更为难以置信惊异的是用任何有用六边形的全都等副无论如何上布设六边形,无论是否是隆起。大理石与人们在织若无、皮革和整幅上请注意到的当代艺术取而代之设计相一致。尽管早在古代就有零星的六边形密上铺的相异方式,但与表达出来恰巧立方体所在此期间做的指导工作相较,六边形密上铺的原理难以置信惊异地并不多。HAT-P-在密上铺除此除此以外在此期间做了重要的指导工作,但从他的时代到1918世纪,所在此期间做的指导工作相比较更少。幸好的是,关于密上铺的指导工作不只能是零星的,而且经常是不清晰的或误导性的。Branko Grünbaum(1929-2018)和Geoffrey Colin Shephard(1927-2016)的巨著《密上铺与上图样》的造出版,变动了这一原因。许多原先密上铺难题给予了管控和补救,并显现造出了各种软件包若无件,主要用途始创相异类型的密上铺(以及恰巧立方体和打游戏)。Daniel Huson和Olaf Fredrichs(RepTiles)以及Kevin Lee(Tesselmania)开发计划了颇为好的密上铺程序,但是这些软件包无论如何的一些一处在此之前不再赞同了。
深受逻辑学范本的最取而代之当代艺术缺更少与敛分有关。这中都的看法的一个更好的交会是闻名的Bolyai-Gerwien-Wallace定律。它指造出,六边形上的两个(有用)边形A和B不具备相近百的占地面积,当且只能当可以将其在此之前一个边形切变为局限数量的边形块并将这些块拼装变为另一个边形时。在一个正向上,这个结果很有用:如果一个人把边形A切变为大块,这些大块将拼装变为边形B,那么B的占地面积与A的占地面积相近百。难以置信惊喜的是,如果A和B有相近百的占地面积,那么你可以把A切变为局限多个边形块,然后重取而代之拼装给予B。当代艺术是从哪中都来的?给造出两个占地面积相近百的边形,人们可以要求Bolyai-Gerwien-Wallace定律的两个扩展:
A.找造出A可以被切割成和重均是由B的总和数量的大块。
B.找造出不具备慕名而来人的功能性的大块,A可以被切割成一新均是由B。这些功能性不太可能是所有的大块都是全都等的,近百似于的,或者有通过一些慕名而来人的平面几何叠加建立联系在独自的边。
Greg Frederickson利用了大量关于如何将一个椭圆形的边形组合成变为相近百占地面积的其他边形的资料。这些分解集在此之前于将恰巧边形(不太可能是圆形或“心形”)分解变为其他恰巧边形。人们不太可能则会相信这些星体的逻辑学系统性则会带来当代艺术上的补救方案。确信是这样的。
弗雷德中都克冈还说明了了如何通过一种恰当的机制,补救如何将一个边形显现造出的大块通往大大的,并伸展它们,以便它们始创另一个边形。这些敛分被称作滚轮式敛分。第一种将脑海在此之前浮现的大块通往在独自的方式是将大块通往到它们的六边形。有这种滚轮敛分的帅气例证,除此以外那些通过展览品如何在直角六边形的两条腿上切割成长方形并在六边形上拼装变为长方形来平面几何推论毕达哥拉斯定律的例证。然而,还有另一种轻松的方式来录制滚轮。这无关到SL边,以便沿这两条边通往的边形可以相比彼此摆动。这类型型的滚轮被称作岌岌可危滚轮。弗雷德中都克冈顾及了几个颇为慕名而来人的滚轮敛分,以若无理学方式为借助,敛分的边形大部分由美好的硬木制变为。这些若无理学动态因其美好而在敛分背后的逻辑学上大在此期间做文章。例如,在弗雷德中都克冈交由同步进行的一种若无理学借助的滚轮敛分在此之前,带孔的恰巧对角形被扭曲滚轮敛分变为不具备相近百占地面积的孔的六角形。
这种敛分背后的逻辑学原理是一种将一个有孔的对角形敛分变为一个有孔的对角形的方式。基于这种敛分,弗雷德中都克冈轻松地录制了一种滚轮岌岌可危敛分。这个慕名而来人的星体(上图20)作为拼上图极其是很寻常,但当人们观赏两个椭圆形两者之间的不可思议的变动时,就则会显现造出一种帅气的效果,因为一个人操纵岌岌可危滚轮的大块。
上图20沃德·弗雷德中都克冈的“柔性”石雕的三个右边,它将一个带孔的圆对角形变变为了一个带孔的“心形”对角形。(沃德·弗雷德中都克冈透过)
原则上要素
原则上上的原则上要素是将一张纸板粘贴变为有用的椭圆形,上会是昆虫或不具备亦然性的好像。然而,Tomoko Fusè通过普及“模块化”原则上要素,从逻辑学的相反彻底变动了原则上要素21世纪。在模块化原则上要素在此之前,上会从完全一致的布料(上会,但不心里,长方形)开始,然后将它们粘贴变为相近百的“两节”。然后这些两节被“编织”在独自,演化变为整体轴对称的星体,如恰巧立方体、大理石或箱子。通过用在此期间做适当的粉红色,人们上会可以借助于不具备迷人轴磁矩的各种恰巧立方体和大理石的迷人纸板动态。的单位原则上要素的原创性在于在此之前开发计划造出来的独创性扬声器以及这些扬声器可以拼装的方式为。Fusè的书造出直到现在书店的“当代艺术区”。寻常的是,对于有原则上要素方面的人来说,由于原则上要素粘贴教学系统会的普适性(例如,山折、谷折等小读到英文字母),Fusè的那些并未被翻译变为英文的类书籍原则上上有用。
有如着原则上要素结构设计的当代艺术除此除此以外,原则上要素的逻辑学原理也给予了直该线的发展。这采取了许多方式。关于用在此期间做原则上上的欧几中都德建筑;也若无件直尺(无若无镜的尺子)和后发可以描画造出什么六边形上三维的详尽的逻辑学原理有一个原则上要素的同伴。用在此期间做有关原则上要素的各种的系统会(纯净数)可以借助于哪些椭圆形?Thomas Hull、Erik Demaine和其他人也研究者了与粘贴和原则上要素有关的难题。一个主要的观者兴趣层面是研究者可以 "平折 "的折痕来进行(纸板上的该几何图形系统会)。所需的逻辑学无关的观念和方式与无论如何试上图表达出来上面六边形(原则上要素的长方形)如何被平面几何叠加所变动的方式有些相异,因为在叠加告一段落时,原则上要素的大部分则会相互接触,尽管它们不则会相互带进纸板的其他大部分。
原则上要素层面有一个颇为前所未见的例证。推论允许人们在将一张纸板折平后沿直该线同步进行切割成,目的是将切下的大块打开。这样可以给予什么椭圆形的大块呢?难以置信惊异的答案是,人们可以给予任何由六边形和直该线段均是由的上三维,这些上三维都可以在六边形上描画造出来! 例如,人们可以剪造出一些平凡的好像,如英文字母 "I "或兰花的轮廓。这个结果起初是由Erik Demaine、Martin Demaine和Anna Lubiw开发计划的。随后,Marshall Bern、Erik Demaine、David Eppstein和Barry Hayes对该结果设就让了相异的方式。
人们可以用模块原则上要素录制许多相异类型的恰巧立方体星体。后面是海伦娜-维中都尔的原则上要素动态试样(上图21)。
上图21:经Helena Verrill授权用在此期间做的动态。(Helena Verrill透过)
恰巧立方体的原则上要素动态采用的方式是,人们录制的扬声器认作恰巧立方体的面,因此,挑战变变为了录制不具备相异阶数和相近百周长的扬声器。人们还可以录制 "阶梯 "式的恰巧立方体。我的意即是,虚拟亦然圆面恰巧立方体,每个面都树立着阶梯。(这些不是平面几何学家用在此期间做这个专有名词的上会意涵上的心形。)其他像这样的恰巧立方体强调恰巧立方体的向除此以外,本质上是作为恰巧立方体的刚性圆锥动态。它们比如说乔托为预览用在此期间做取而代之兴的构图法插图恰巧立方体的技术而插图的上复制品。
除了是美好的星体除此以外,许多可以用原则上要素录制的恰巧立方体都显然了寻常的逻辑学难题。作为一个有用的例证,人们可以用六个两节的原则上要素片来录制一个边形。如果这六块纸板都是相近百的粉红色,那么人们情况下录制一种 "类型 "的彩色边形。推论一个人有三种粉红色的扬声器和三种粉红色的扬声器。你能在此期间做造出多更少个不完全一致的边形?
后面的上图表说明了了一个基于米切尔赫尔的期望,由乔马奎斯粘贴的原则上要素结构设计。在逻辑学层面上,人们请注意到的是由美元面值粘贴而变为的嵌套立方体等价(上图22)。一些人还请注意到了一件当代艺术品!
上图22:经乔·马奎斯授权用在此期间做。(乔·马奎斯透过)
在后面的咨询在此之前,我在此之前说明了了逻辑学和当代艺术两者之间建立联系的冰山一角。这些建立联系对逻辑学和当代艺术都有好处,并将在此期间的发展和繁华。
沟通当代艺术与逻辑学的21世纪
短暂以来,有一个名为 "Bridges "的民间组织,其最大限度是倡导当代艺术和逻辑学两者之间的建立联系。Bridges 民间组织有一个历年来亦然大则会,并在博客发布亦然大则会上的许多则协商详细说明了,其在此之前除此以外许多深受到逻辑学范本的当代艺术试样,以及尽力当代建筑家用在此期间做逻辑学的意念。新泽西州逻辑学学则会多年来多年来在其历年来倡议逻辑学亦然大则会上赞助基于逻辑学的当代艺术(除此以外棉花)展览。这除此以外为在联席亦然大则会上展造出的最佳当代艺术文学作品设立一个 "评委 "奖法制。这个展览与Bridges 民间组织独自在此期间创造者期望和观者兴趣,以人才培养逻辑学家当代建筑家和深受逻辑学范本的当代艺术。
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通往当代艺术和逻辑学的文献众所周知混杂且独特。这中都所所列的只是作为一个小试样。有许多与此特别的在该线com,除此除此以外是Bridgescom。
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